Eksponen (Perpangkatan) - Kelas 10
A. Definisi Eksponen
Eksponen atau yang biasa kita sebut sebagai perpangkatan adalah bentuk perkalian yang diulang-ulang. Definisi matematisnya semacam ini:
\[ a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \dots a}_{\text{Sebanyak n kali}} \]
Oh ya btw angka yang menempati \( a \) namanya basis dan \( n \) nya adalah eksponen/pangkat.
Jadi semisal kita diberikan eksponen \( 5^3 \) berarti maksudnya adalah \( 5 \cdot 5 \cdot 5 \) yang hasilnya \( 125 \). ( \( 5 \) adalah basisnya, \( 3 \) adalah pangkatnya)
B. Sifat-Sifat Eksponen
Sifat-sifat yang umum dipakai adalah:
1. Pangkat \( 1 \)
\[ a^1 = a \]
Jelas, karena
\[ a^1 = \underbrace{a}_{\text{Sebanyak 1 kali}} \]
Contoh pakainya
\( 5^1 = 5 \)
\( 10^1 = 10 \)
2. Pangkat Penjumlahan
\[ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \]
INGAT!!! Basisnya HARUS sama.
Agar mudah dihafal, begini prinsipnya
Kita tahu bahwa \[ a^m = \underbrace{a \cdot a \cdot a \dots a}_{\text{Sebanyak m kali}} \] dan \[ a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \dots a}_{\text{Sebanyak n kali}} \] Ketika mereka digabung kurang lebih bakal kayak gini \[ a^m \cdot a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \dots a}_{\text{Sebanyak m kali}} \cdot \underbrace{a \cdot a \cdot a \dots a}_{\text{Sebanyak n kali}} \] \[ a^m \cdot a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \dots a}_{\text{Sebanyak m+n kali}} \] Maka dari itu, bisa kita tulis ulang kalau \[ a^{m+n} = \underbrace{a \cdot a \cdot a \dots a}_{\text{Sebanyak m+n kali}} \] \[ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \]
Contoh pakainya
\( 5^3 \cdot 5^2 = 5^5 = 3125 \)
\( x^3 \cdot x^{10} \cdot x^3 = x^{3+10+3} = x^{16} \)
\( x^4 \cdot y^5 \cdot y^2 \cdot x^{11} \cdot x^3 = x^4 \cdot x^{11} \cdot x^3 \cdot y^5 \cdot y^2 \\ x^{4+11+3} \cdot y^{5+2} = x^{18} \cdot y^{7} \)
3. Pangkat Pengurangan
\[ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \]
INGAT!!! Basisnya HARUS sama.
Agar mudah dihafal, begini prinsipnya
Kita tahu bahwa \[ a^m = \underbrace{a \cdot a \cdot a \dots a}_{\text{Sebanyak m kali}} \] dan \[ a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \dots a}_{\text{Sebanyak n kali}} \] Ketika mereka menjadi pecahan, kurang lebih bakal kayak gini \[ \frac{a^m}{a^n} = \frac{\underbrace{a \cdot a \cdot a \dots a}_{\text{Sebanyak m kali}}}{\underbrace{a \cdot a \cdot a \dots a}_{\text{Sebanyak n kali}}} \] Tetapi karena yang bawah membagi yang atas, maka banyaknya "kali" bakal berkurang sebanyak \( n \) \[ \frac{a^m}{a^n} = \underbrace{a \cdot a \cdot a \dots a}_{\text{Sebanyak m-n kali}} \] Maka dari itu, bisa kita tulis ulang kalau \[ a^{m-n} = \underbrace{a \cdot a \cdot a \dots a}_{\text{Sebanyak m-n kali}} \] \[ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \]
Contoh pakainya
\( \frac{5^3}{5^2}= 5^{3-2} = 5 \)
\( \frac{x^{10}}{x^{3}} \cdot x^3 = x^{10-3+3} = x^{10} \)
\( x^4 \cdot \frac{y^2}{y^5} \cdot \frac{x^{11}}{x^3} = x^{4+11-3} \cdot y^{2-5} = x^{12} \cdot y^{-3}\)
4. Pangkat \( 0 \)
\[ a^0 = 1 \]
ATURAN!!! \( a \) tidak boleh sama dengan \( 0 \) . ( \( a \ne 0 \) )
Kalau mau tau kenapa
Kita tahu bahwa \[ 0 = 1-1 \] Kemudian kita bisa buat \[ a^0 = a^{1-1} \] Ingat dengan sifat pengurangan \[ a^{1-1} = \frac{a}{a} = 1 \] Maka bisa kita simpulkan \[ a^0 = 1 \]
5. Pangkat Negatif
\[ a^{-b} = \frac{1}{a^b} \]
Kalau mau tau kenapa
Kita tahu bahwa \[ -b = 0-b \] Kemudian kita bisa buat \[ a^{-b} = a^{0-b} \] Ingat dengan sifat pengurangan \[ a^{0-b} = \frac{a^0}{a^b} = \frac{1}{a^b} \] Maka bisa kita simpulkan \[ a^{-b} = \frac{1}{a^b} \]
6. Pangkat Perkalian
\[ (a^m)^n = a^{m \cdot n} \]
Agar mudah dihafal, begini prinsipnya
\[ (a^m)^n = \underbrace{a^m \cdot a^m \cdot a^m \dots a^m \cdot a^m}_{\text{Sebanyak n kali}} \] \[ (a^m)^n = a^{\underbrace{m + m + m \dots m + m}_{\text{Sebanyak n kali}}} \] Dan karena penjumlahan yang berulang hanyalah perkalian, maka \[ (a^m)^n = a^{mn} \]
INGAT!!! \( a^{m^n} \) berbeda dengan \( (a^m)^n \) .
7. Perkalian Bilangan yang Dipangkatkan
\[ (a \cdot b )^m = a^m \cdot b^m \]
INGAT!!! Pangkatnya HARUS sama.
Agar mudah dihafal, begini prinsipnya
\[ (a \cdot b)^m = \underbrace{(a \cdot b) \cdot (a \cdot b) \cdot (a \cdot b) \dots (a \cdot b) \cdot (a \cdot b)}_{\text{Sebanyak m kali}} \] \[\underbrace{a \cdot a \cdot a \dots a \cdot a}_{\text{Sebanyak m kali}} \cdot \underbrace{b \cdot b \cdot b \dots b \cdot b}_{\text{Sebanyak m kali}} = a^m \cdot b^m \]
8. Perpangkatan pada Bilangan Pecahan
\[ (\frac{a}{b})^m = \frac{a^m}{b^m}\]
INGAT!!! Pangkatnya HARUS sama.
Agar mudah dihafal, begini prinsipnya
\[ (\frac{a}{b})^m = \underbrace{(\frac{a}{b}) \cdot (\frac{a}{b}) \cdot (\frac{a}{b}) \dots (\frac{a}{b}) \cdot (\frac{a}{b})}_{\text{Sebanyak m kali}} \] \[\frac{\underbrace{a \cdot a \cdot a \dots a \cdot a}_{\text{Sebanyak m kali}}}{\underbrace{b \cdot b \cdot b \dots b \cdot b}_{\text{Sebanyak m kali}}} = \frac{a^m}{b^m} \]
9. Pangkat Pecahan
\[\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\]
Untuk bagian ini ga kukasih penjelasan prinsipnya karena malah bikin kalian lebih pusing.